примеры решения системы с помощью теоремы кронекера-капелли

1,19 Mb.страница2/7Дата конвертации26.11.2012Размер1,19 Mb.Тип Смотрите также:   2           ^ 2.5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2.5.1 Основные понятия Система вида: называется неоднородной системой т линейных уравнений с п неизвестными. Здесь х1 ,..., хп - неизвестные величины, Аij - коэффициенты системы, bj, - свободные члены ^ Совокупность п чисел которые обращают каждое уравнение системы в тождество, называется решением системы. Если существует хотя бы одно решение, то система называется совместной, в противном случае - несовместной. Совместная система называется определенной, если решение единственно, в противном случае - неопределенной. Если все свободные члены bi = 0 , то система называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как она имеет решение хj = 0 , это решение называют тривиальным. Запишем систему в матричной форме: АХ=В, где матрица , составленная из коэффициентов системы, называется основной матрицей системы: - матрица неизвестных, - матрица свободных членовЕсли к матрице системы А присоединить столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы, обозначим её .^ 2.5.2 Методы решение систем Ответ на вопрос о совместности неоднородной системы дает теорема Кронекера-Капелли: Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть: rang A = rang. Рассмотрим систему, у которой число уравнений равно числу неизвестных, т=п. АХ=В, где А=(аij) - квадратная матрица порядка n. При решении такой системы возможны два случая: Матрица А - не вырождена, ее определитель. В этом случае существует обратная матрица А-1. Уравнение АХ=В умножим слева на А-1, получим: А-1AX= А-1B, так как А-1А = Е, то решение системы найдено X= А-1 B. Итак, система имеет единственное решение, которое находится с помощью обратной матрицы по формуле: Отсюда легко получаются известные формулы Крамера: или , где - определитель матрицы А, у которой i-ый столбец заменен столбцом свободных членов.Пример 13. Решить систему с помощью обратной матрицы: . Решение Установим, будет ли основная матрица системы невырожденной, для этого найдем ее определитель: , следовательно А -не вырождена. Решение Х ищем по формуле Х = А-1В. Найдем обратную матрицу . Вычислим все алгебраические дополнения: ; А21=1; А31=8; ; А22=2; А32=-5; А23=5; А33=-2. тогда: Найдем неизвестные системы: итак, . Пример 14. Решить систему, используя формулы Крамера: . Решение Найдем определитель основной матрицы системы: , следовательно, система имеет единственное решение. Найдем его по формулам Крамера: гдеитак, ;

Учебно-методический комплекс дисциплины Красноярск 2004

2.5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ - Учебно-методический комплекс дисциплины Красноярск 2004